Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wir sind jetzt angestiegen in eine Polyedertheorie mit dem Ziel, damit der Simplex-Verfahren zur

Lösung linearer Optimierungsprobleme zu beschreiben und insbesondere auch zu begründen.

All unsere Überlegungen sind algebraisch, die spielen sich also in einem R-dimensionalen

Vektorraum ab, gegebenenfalls unter Benutzung von der zugehörigen affinen Struktur.

Normalfall brauchen wir keine Analysis, im Normalfall.

Es gibt ein, zwei Beweise, da taucht man ein ganz kleines bisschen an Analysis-Argument

auf.

Insofern sind jetzt die Verbindungen zur Analysis jetzt für uns auch nicht so wichtig.

In dieser Fragestellung hier sind sie nochmal ein bisschen aufgezeigt, was eigentlich auch

mehr oder minder selbstverständlich ist, zum Beispiel die Aussage, Polyeder ist vollständig.

Diese Aussage kann ich natürlich nur treffen, wenn ich überhaupt von so etwas wie vollständig

sprechen kann, das heißt also, wenn ich eine Topologie habe auf dem Raum und wir wollen

es natürlich nicht so allgemein machen, sondern wir gehen mal davon aus, dass der Raum dann

normiert ist.

Allein das ist jetzt auf den ersten Blick erstaunlich, dass dann völlig unabhängig,

wie ich diesen Raum normiere, immer sozusagen die gleichen Aussagen herauskommen auf den

zweiten Blick, aber nicht, weil unsere Räume ja endlich dimensional sind und wir werden

relativ bald sehen, dass auf einem endlich dimensionalen Raum alle Normen äquivalent

in dem Sinne sind, dass sie die gleiche Topologie erzeugen, will sagen, dass die Frage, ob eine

Folge konvergiert oder nicht, unabhängig von der Wahl der Norm ist, was im unendlich dimensionalen

Raum völlig falsch ist.

Da gibt es sozusagen echte Unterschiede in der Stärke der Norm.

Das kennen Sie auch schon, glaube ich, aus der Analysis, eine Folge, die punktweise, eine

Funktionenfolge, die punktweise konvergiert, das ist nun keine Norm, die muss jetzt nicht

gleichmäßig konvergieren oder eine Funktionenfolge, die im quadratischen Mittel konvergiert, die

muss nicht gleichmäßig konvergieren.

Da sind also echte Unterschiede zwischen den Konvergenzbegriffen im unendlich dimensionalen

Raum.

Hier in unserem Fall nicht und dann kommen eben solche Aussagen heraus, wie das Polyeder

ist abgeschlossen, was an sich eine offensichtliche Aussage ist, wenn man sagt, was heißt denn

abgeschlossen?

Ja, was heißt denn abgeschlossen überhaupt?

Langser, oder?

Ja, gut, und was heißt offen?

Bitte?

Jaja, also irgendwas müssten Sie mir jetzt schon einbieten, weder offen, weder abgeschlossen.

Was ist denn die Begrenzung?

Ja, vielleicht ein...

Hab ich das nicht ganz verstanden, akustisch?

Genau, also wenn ich eine beliebige, wenn gilt, ich nehme irgendeine Folge von Elementen

aus dem Raum her, setze voraus, die ist konvergent, dann hat die ein Limes und der Limes muss

eben die abgeschlossenheit, muss dann auch zu der Menge dazu gehören.

Diesen zum Beispiel, das könnte man jetzt ohne weiteres da überprüfen, man nimmt sich

eine Folge her, konvergente Folge, die Folge erfüllt dann eben diese Ungleichungsbedingungen

und aufgrund, da muss man natürlich wieder etwas Analysiskenntnis einsetzen, aufgrund

der Stetigkeit unserer linearen Funktionale sind eben dann die Bilder, die konvergieren,

die Bildelemente gegen das Bild des Limes, das heißt, das Bild des Limes erfüllt dann

auch die Ungleichungsbedingungen, damit gehört auch das Limes-Element dazu.

Man kann es auch ein bisschen eleganter noch ausdrücken, weiß nicht, ob Sie diese Aussage